『数学その形式と機能』 - mrsekut-p

『数学その形式と機能』

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1992/4/1

Saunders Mac Lane 原著

Mathematics Form and Function: Saunders MacLane

原書

赤尾和男翻訳

岡本周一翻訳

日本語版への序文

監修者のことば

原序

序説

第１章：形式的構造の起源

- 自然数

- 置換

- 時刻と順序

- 空間と運動

- 対称性

- 変換群

- ブール代数

- 微積分学、連続性および位相

- 人間活動とアイデア

- 数学上の諸活動

- 公理的構造

第２章：整数から有理数へ

- 自然数の諸性質

ペアノの公理

- 帰納定理により記述される自然数

- 数論

- 整数

- 合同式

- 基数

- 順序数

- 数（自然数）とは何か？

第３章：幾何学

- 空間にかかわる諸活動

- 図を使わない証明

- 平行線の公理

- 双曲幾何学

- 楕円幾何学

- 幾何学的量

- 向き付け

- 幾何学における群

- 立体幾何学

- 幾何学は科学であるか？

第４章：実数

- 大きさの測定

- 幾何学的量としての大きさ

- 大きさの操作（演算）

- 大きさの比較

- 実数の公理

- 実数の算術的構成

- ベクトル幾何学

- 解析幾何学

- 三角法

- 立体射影と無限遠点

- 虚数は現実のものか？

- 抽象代数登場

- 四元数その他

- 要約

第５章：関数、変換および群

- 関数のタイプ

- 関数とは何か

- 対の集合としての関数

- ガロア理論

- 群の構成

- 要約：像と合成という考え方

第６章：微積分学の諸概念

- 起源

- 微分係数、導関数

- 積分法の基本定理

- ケプラー（Kepler）の法則とニュートンの法則

- 微分方程式

- 微積分学の基礎づけ

- テイラー（Taylor）級数と近似

- 偏導関数、偏微分係数

- 微分形式

- 微積分学から解析学へ

- 諸概念のあいだの内部関連

第７章：線形代数

- 線形性の源泉

- 線形変換と行列

- 双線形性とテンソル積

- 外積代数と微分形式

- 相似性と直和

- 要約

第８章：空間が有する形式

- 曲率

- 曲面のガウス曲率

- 弧長と内在的幾何学

- 多価関数とリーマン面

- 多様体の例

- 滑らかな多様体

- 径路と量

- リーマン計量

- 層

- 幾何学とは何か？

第９章：力学

- ケプラーの法則

- 運動量、仕事、エネルギー

- ラグランジュの方程式

- 速度と接束

- 数学における力学

- ハミルトンの原理

- ハミルトンの方程式

- トリックとアイデア

- 主関数

- ハミルトン-ヤコビの方程式

- 回転ごま

- 力学の形式

- 量子力学

第１０章：複素解析とトポロジー

- １変数複素関数

- 平面上の径路

- コーシーの定理

- 一様収束

- 冪（べき）級数

- コーシーの積分公式

- 特異点

- リーマン面

- 芽と層

- 解析学、幾何学、位相数学

第１１章：集合、論理、圏

- 集合の階層

- 公理的集合論

- 命題計算

- 第１階の言語

- 述語計算

- 正確な推論と理解

- ゲーデルの不完全性定理

- 独立性の証明

- 圏と関手

- 普遍性

- 写像の公理

- 直観主義の論理

- 層の方法による独立性の証明

- 基礎付けか組織化か？

第１２章：数学のネットワーク

- 形式性

- アイデア

- ネットワーク

- 部門、分野および下位区分

- 問題

- 数学を理解するということ

- 一般化と抽象化

- 新機軸

- 数学は真実か？

- プラトニズム

- 好ましい研究の方向

- 要約

参考文献

記号一覧

訳者あとがき

索引